Hypothèses du Modèle de Merton

Le modèle de Merton suppose que les actifs de la société sont négociables et suivent une dynamique du type :

\frac{dV}{V}=r\times dt + \sigma_V\times dB_t




avec :



    

  • Vt : Valeur des actifs
    • 

  • σV : Volatilité de la valeur des actifs
    • 

  • r : Taux d’intérêt sans risque
    • 




dBt est un processus de Weiner standard.




La dette de la société est constituée d’un unique zéro-coupon de valeur nominale D et de maturité T.




On suppose que la société est liquidée à l’échéance T de la dette.




Deux situations peuvent alors intervenir :



    

  1. La valeur des actifs est inférieures à la valeur nominale de la dette (VT < D) : Dans ce cas, la société est en faillite et le droit des faillites stipule que les actifs de la société deviennent la propriété des créanciers qui récupèrent donc une proportion D/VT du montant nominal de la dette. Les actionnaires perdent la totalité des sommes investies en fonds propres lors de la création de la société.
    2. 

  2. La valeur des actifs est supérieures à la valeur nominale de la dette (VT > D) : Les actionnaires peuvent solder les actifs de la société, rembourser les créanciers et se partager le solde (VT - D) pro-rata les parts qu’ils détiennent dans la capital de la société.
    3. 




On constate donc que les actions ainsi que la dette de la société peuvent s’interpréter comme des produits dérivés sur les actifs de la société (sous-jacent) :



    

  1. Les actionnaires sont long d’un Call sur la valeur des actifs Vt de strike D et d’échéance T. A l’échéance ils reçoivent : Max(0, VT-D).
    2. 

  2. Les créanciers sont long d’un zéro-coupon sans risque de valeur nominale D et short d’un Put sur la valeur des actifs Vt de strike D et d’échéance T. A l’échéance ils reçoivent : Min(VT ,D).
    3. 




Les payoffs à l’échéance T des actions et de la dette de la société sont représentés sur le graphique ci-dessous.




merton_s.gif




Arrêtons-nous un instant sur la définition d'une action dans le cadre du modèle Merton :




Action 
<==>
Call sur sur la valeur des actifs Vt de strike D et d’échéance T 






Les implications de cette propriété sont nombreuses et ferons l'objet d'un prochain billet, néanmoins ceux qui d'entre vous qui connaissent la théorie des options peuvent déjà faire l'exercice de transposition...




Formalisation et Implémentation




Appliquons la formule de valorisation par actualisation de l’espérance des cashflows futurs sous probabilité risque-neutre à la valeur de la dette, on obtient :




D_t=B\left( t,T\right)\times E\left[ Min\left( V_T,D\right)\right]




B(t, T) est le facteur d'actualisation correspondant au taux sans risque r de date de valeur t et de date de maturité T.




En notant que Min(a,b) = a – Max(0,a-b), on peut réécrire l’expression précédente sous la forme :




D_t=B\left( t,T\right)\times D - B\left( t,T\right)\times E\left[ Max\left( 0, D-V_T\right)\right]




La valeur du zéro-coupon risqué est donc bien égale à la valeur d'un zéro-coupon sans-risque moins la valeur d'un Put sur la valeur des actifs Vt de strike D et d’échéance T. Appliquons maintenant la formule de Black-Scholes au Put précédent, on obtient après avoir réarrangé les termes :




D_t=V_t\times N\left(-d_1\right)+D\times B\left(t,T\right)\times N\left(d_2\right)




avec :




d_1=\frac{Ln\left( \frac{V_t}{D}\right)+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\times \left(T-t\right)}{\sigma \times \sqrt{T-t}}}




d_2=d_1 - \sigma \times \sqrt{T-t}




N(.) est la fonction de distribution cumulée de la loi normale (centrée-réduite).




On peut maintenant calculer les principaux indicateurs de risque de crédit, dont la probabilité de défaut, à partir de la valeur des actifs Vt et de la volatilité des actifs σV. On a vue que la société faisait défaut en T si la valeur de ses actifs à cette date VT était inférieure à la valeur nominale de sa dette D, on en déduit facilement que la probabilité de défaut s'écrit :




Proba_t=N\left(-d_2\right)




Les autres indicateurs de risques complémentaires à la probabilité de défaut sont :



    

  • Taux de recouvrement
    • 

  • Levier d’endettement
    • 

  • Spread de crédit
    • 




Remarque : Notons qu'il est aussi possible de dériver des formules explicites pour ces trois indicateurs.




Jusqu’à présent, nous avons considéré que la valeur ainsi que la volatilité des actifs étaient connues du fait de leur négociabilité. Si cette situation est applicable dans certains cas (sociétés foncières, holding financières, etc.), dans tous les autres cas, les actifs des sociétés n’étant pas négociables, la valeur ainsi que la volatilité des actifs ne sont pas directement observables.




Dans ces cas, les paramètres Vt et σV peuvent être estimés indirectement à partir de la valeur St et de la volatilité σS des actions de société.




Nous avons vu que les actions de la société pouvaient s’interpréter comme un Call sur la valeur des actifs Vt de prix d’exercice D et de maturité T. Par application de la formule de Black-Scholes, on en déduit la valeur de ces actions :




S_t=V_t\times N\left(d_1\right)-D\times B\left(t,T\right)\times N\left(d_2\right)\qquad(a)




Remarque : Notons que l’équilibre du bilan « économique » de la société est bien réalisé puisqu’en additionnant les valeurs des actions St et de la dette Dt et réarrangeant les termes, on retrouve bien la valeur des actifs Vt. Il s’agit là d’une application particulière de la relation de parité Call-Put.




Afin de calculer Vt et σV en fonction de St et σS il est nécessaire de se doter d’une seconde équation. L'application du Lemme d'Ito permet de calculer la volatilité du processus St :




\sigma _S=\sigma _V\times \frac{V_t}{S_t}\times N\left( d_1 \right)\qquad(b)




Les équations (a) et (b) constituent un système d’équations non linéraire permettant de calculer Vt et σV en fonction de St et σS. Ce système n’est cependant pas soluble analytiquement, il est donc nécessaire d’adopter en pratique une approche numérique.




Limites et Développements




Le modèle de Merton tel que nous l’avons brièvement décrit ci-dessus peut faire l’objet de deux types de critiques :



    

  1. Spécifiques au modèle de Merton stricto-sensus
    2. 

  2. Intrinsèques aux modèles dits « structurels » dont le modèle de Merton est l’archétype
    3. 




Les critiques spécifiques portent sur certaines hypothèses du modèle qui ne correspondent pas avec la réalité souvent complexe de la vie des entreprises. Le modèle de Merton a fait l’objet de développements ultérieurs visant à s’affranchir de certaines de ces hypothèses dont les deux implémentations opérationnelles les plus connues sont :



    

  • KMV : Modèle « propriétaire » de la société Moodys qui commercialise son logiciel CreditMonitor (programme et données)
    • 

  • CreditGrade : Modèle « ouvert » d’origine J.P. Morgan implémenté et commercialisé par la société RiskMetrics (programme et données)
    • 




Le lecteur intéressé pourra consulter les sites des sociétés Moodys-KMV et RiskMetrics pour plus d'informations.




Au-delà de ses problèmes spécifiques qui peuvent êtres en partie résolues par des évolutions du modèle initial, certaines critiques portent non pas uniquement sur le modèle de Merton, mais sur les modèles « structurels » dans leur ensemble :



    

  • Utiliser le prix des actions pour calculer les probabilités de défaut revient introduire dans ces estimations la « volatilité » à court terme des marchés actions et leur excès récurrents sur le moyen terme.
    • 

  • Ces modèles supposent implicitement que les marchés actions et les marchés de dettes corporate sont arbitrés. Le décloisonnement progressif des activités actions et taux/crédit aux seins des établissements financiers concoure à l'inter-efficience de ces deux marchés.
    • 




Malgré ces limitations, le modèle de Merton reste l'archétype des modèles « structurels » et son étude est riche d'enseignements qualitatifs.




Dans un prochain article nous étudierons la relation de dépendance entre le cours de l'action d'une société et le spread de crédit sur sa dette corporate dans le cadre du modèle de Merton.